最小二乘阴影 adjoint 的存在性、唯一性与粗域离散化

混沌动力学系统以轨迹对初始条件的敏感依赖性为特征。当仿真处于混沌状态时，常规对时平均函数的灵敏度分析会产生无界灵敏度。最小二乘阴影（LSS）是一种计算混沌动力学系统中有限灵敏度的流行方法。当前论文证明了 LSS 方程 adjoint 的存在性、唯一性及其有界性。特别是，分析得出了 LSS 方程条件数更紧的上界，表明对于较大的积分时间，条件数仍保持有界。派生的条件数上界还显示了 LSS 条件数与时间膨胀因子之间的关系，这与先前 LSS 文献中观察到的数值趋势一致。Furthermore, 利用条件数在大积分时间下的有界性，我们提供了一种替代证明，证明 LSS 对真实灵敏度的收敛性，以 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{T}}\right)$ 的速率收敛，这与边界条件对 adjoint 的选择无关，只要 adjoint 的边界条件是有界的。连续时间 adjoint LSS 方程的解的存在性和唯一性，确保 LSS 方程可以独立于原始方程进行离散化，且当时间步长细化时，可恢复真实的 LSS adjoint 解。这使得 adjoint LSS 方程可以离散化于原始控制方程的时间域之粗糙域，从而降低求解线性时空系统的成本。