关于总体最小二乘问题的条件数

本文关注基于奇异值分解（SVD）的总体最小二乘（TLS）问题条件数的可计算公式和界。对于系数矩阵为$A$、右端项为$b$的TLS问题，给出了条件数的一个新的闭式公式。与文献中一个同时使用$A$和$[A,\ b]$的SVD的重要结果不同，我们的公式仅需要$[A,\ b]$的SVD。基于该闭式公式，推导了条件数的下界和上界。证明了这些界总是紧的，并能准确估计条件数。进一步建立了至多涉及$A$和$[A,\ b]$的最小两个奇异值的若干下界和上界。讨论了这些界的紧性，并给出了数值实验以证实我们的理论，并展示我们的上界相对于Golub和Van Loan以及Baboulin和Gratton的两个上界的改进。这些下界和上界对于大规模TLS问题特别有用，因为它们只需要计算$A$和$[A,\ b]$的少数几个奇异值，而非全部奇异值。