对总体最小二乘问题条件数的贡献

本文研究总体最小二乘（TLS）问题条件数的易于计算公式与界。对于具有数据 $A$、$b$ 的 TLS 问题，本文推导了两个比文献中已知结果更简单、更紧凑的公式。其中一个公式是通过利用矩阵 Kronecker 积的性质推导的。另一个公式则是利用 $[A \,\,b]$ 的奇异值分解（SVD）得到的，这使得我们能够廉价且准确地计算条件数。我们给出了涉及 $[A \,\, b]$ 的奇异值以及 $[A \,\, b]$ 右奇异向量最后元素的条件数下界和上界。我们证明它们总是锐利的，并且可以在不超过四倍的误差内准确估计条件数。此外，我们建立了另外几个仅涉及 $A$ 和 $[A \,\, b]$ 少量奇异值的下界和上界。我们讨论了这些界的紧致性。这些界对于大规模 TLS 问题尤为有用，因为对于这类问题，任何涉及 $A$ 和/或 $[A \ b]$ 所有奇异值的条件数公式与界都因计算代价过高而无法使用。数值实验表明，我们的界比文献中已知的近似条件数更锐利。