有限水深周期重力波的 Babenko 方程：推导与数值求解

在无表面张力的条件下，考虑描述有限水深周期定常波的非线性二维问题。该问题被化为一个单一伪微分算子方程（Babenko 方程），并对其进行了解析与数值研究。该方程与无限深水波的方程形式相同；后者由 Babenko 提出，并由 Buffoni、Dancer 和 Toland 详细研究。与深水中方程所使用的 $2 \pi$ 周期 Hilbert 变换 $\mathcal{C}$ 不同，此处所得方程包含某个算子 $\mathcal{B}_r$，它是 $\mathcal{C}$ 与一个紧算子的和，该紧算子对参数的依赖涉及水深。数值计算基于通过算子 $\mathcal{B}_r \D / \D t$ 的谱分解导出的 Babenko 方程的等价形式。数值上获得了分歧曲线和极端形式的波剖面。