具有零常返快分量的 SDE-BSDE 平均化及其在非周期介质均匀化中的应用

我们针对具有零常返快分量 $X^{1,\,\varepsilon}$ 的 SDE-BSDE 系统的解族 $(X^{\varepsilon}, Y^{\varepsilon})$ $:=$ $(X^{1,\,\varepsilon},\,X^{2,\,\varepsilon},\, Y^{\varepsilon})$ 建立了平均化原理。与经典的周期情形不同，我们不能依赖于不变概率，且慢前向分量 $X^{2,\,\varepsilon}$ 不能由扩散过程来逼近。另一方面，我们假设系数在 Cesàro 意义下存在极限。在此情形下，极限系数可能具有不连续性。我们证明，可以通过 SDE-BSDE 系统 $(X^1, X^2, Y)$ 来逼近三元组 $(X^{1,\,\varepsilon},\, X^{2,\,\varepsilon},\, Y^{\varepsilon})$，其中 $X := (X^1, X^2)$ 是 Markov 扩散，是平均化后前向分量的唯一（依分布）弱解，而 $Y$ 是平均化后倒向分量的唯一解。这是在倒向分量的生成元依赖于变量 $z$ 的情况下完成的。作为应用，我们针对系数既非周期也非遍历的半线性 PDE 建立了均匀化结果。我们证明，通过极限 PDE 的（唯一）Sobolev $W\_{d+1,\text{loc}}^{1,2}(\R\_+\times\R^d)$ 解的概率表示，平均化后的 BSDE 与平均化后的 PDE 相关联。我们的方法结合了 PDE 方法和概率论证，这些论证基于 S-拓扑中 BSDE 的稳定性和弱收敛性质。