线性波与共振的渐近性及其在黑洞中的应用

我们应用 arXiv:1301.5633 的结果来描述具有 $r$-normally hyperbolic 捕获集的稳态洛伦兹度规上线性波的渐近行为，特别是 $|a|<M$ 且 $M\Lambda a \ll 1$ 的 Kerr 和 Kerr-de Sitter 度规。我们证明，如果初始数据局域在频率 $\lambda \gg 1$ 处，则解的能量范数以 $O(\lambda^{1/2} \exp(-(\nu_{\min} - \epsilon)t/2) + \lambda^{-\infty})$ 为界（对于 $t < C \log\lambda$），其中 $\nu_{\min}$ 是一个自然动力学量。关键工具是一个微观投影算子，它将解分裂为一个具有受控指数衰减率的分量和一个 $O(\lambda \exp(-(\nu_{\min} -\epsilon)t) + \lambda^{-\infty})$ 的余项；这种分裂可视为共振展开的类比。此外，针对 Kerr-de Sitter 情形，我们研究了准正则模；在动力学挤压条件下，带状区域内的 Weyl 定律成立。