渐近素数约数与Vasconcelos不变性

设 $R$ 为 Noether 环，$I$ 为 $R$ 的理想，$M$ 为 $R$ 的有限生成模。在本文中，我们证明了对于所有 $n \gg 0$，都有 $$\mathrm{Ass}_R(M/I^{n} M) = \mathrm{Ass}_R(0:_{M} I) \cup \mathrm{Ass}_R(I^{n-1} M/I^{n} M).$$ 随后我们研究了当 $R$ 为 $\mathbb{N}$ grading、$I$ 为齐次理想且 $M$ 为 $\mathbb{Z}$ grading 时，$M/I^{n} M$ 的（局部）Vasconcelos 不变性随 $n$ 的渐近行为。当 $I$ 由正次数生成元时，我们证明对于足够大的 $n$，$M/I^{n} M$ 的（局部）Vasconcelos 不变性要么等于 $(0 :_{M} I)$ 的 Vasconcelos 不变性，要么是关于 $n$ 的一次多项式，其领导系数为 $I$ 生成元的一个次数。这种二分取决于 $(0:_{M} I)$ 的两个情形。因此，我们恢复并显著加强了Fiorindo-Ghosh [Nagoya Math. J. 258 (2025), 296-310.] 的主要结果，后者在 $(0:_{M} I)=0$ 的额外假设下显示了渐近线性性。