研究渐近素理想及相关问题的一个便利范畴

设 $A$ 为诺特环，$\mathcal{R} = \bigoplus_{n \geq 0}\mathcal{R}_n$ 为满足 $\mathcal{R}_0 = A$ 的标准分次环。我们定义了一个分次 $\mathcal{R}$-模范畴 $\mathfrak{A}(\mathcal{R})$（不一定有限生成），其具有以下性质：若 $X = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} X_n \in \mathfrak{A}(\mathcal{R})$，则 (1) 对所有 $i \in \mathbb{Z}$，$X_i$ 是有限生成 $A$-模，且当 $i \ll 0$ 时 $X_i = 0$。(2) 存在 $n_0$ 使得对所有 $n \geq n_0$ 有 $\text{Ass}_A X_n = \text{Ass}_A X_{n_0}$。(3) 若对所有 $n$，$X_n$ 作为 $A$-模具有有限长度，则存在 $P_X(z) \in \mathbb{Q}[z]$ 使得对所有 $n \gg 0$ 有 $P_X(n) = \ell_A(X_n)$。(4) 若 $F$ 是有限生成 $A$-模范畴上的相干函子，则 $F(X) = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} F(X_n) \in \mathfrak{A}(\mathcal{R})$。(5) 对于 $A$ 中的理想 $J$，存在 $c_J^X$ 使得对所有 $n \geq c_J^X$ 有 $\text{grade}(J, X_n) = \text{grade}(J, X_{c_J^X})$。我们给出了关联素理想理论及相关领域中几个结果的统一证明。