Noether 环的秩数与grading 的有限性与无限性

本文我们证明对于任意螺旋免疫群 $G$，$\operatorname{rank}_\mathbb{Z}G<\infty$ 当且仅当存在一个 $G$ grading 的 Noether 环 $R$，使得集合 $\{R_g \neq 0\}$ 生成群 $G$。对于每个秩为有限的 $G$，我们构造一个 $G$ grading 的环 $R$，使得 $R_g \neq 0$ 对所有 $g \in G$ 均成立。我们证明这些环给出的是非 ED (equivalence class decomposition) 的 PID (principal ideal domain)。我们还利用谐局域环与群上同调之间的关系，证明了第二群同调的某些消失与非消失结果。最后，我们证明当 $R_0$ 为阿尔米纳时， finitely 生成的 $G$ grading 的 $R$ 模组的希尔伯特级数是 well-defined 的，而且该希尔伯特级数乘以某个拉斯维加斯多项式等于一个拉斯维加斯多项式。