关于分次模的 Vasconcelos 不变量的渐近行为

Vasconcelos 不变量（文献中称为 v-数）的概念于 2020 年被引入，用于研究域上多项式环中齐次理想的射影 Reed-Muller 型码的最小距离的渐近行为。我们启动了对分次模的这一不变量的研究。设 $R$ 是一个诺特 $\mathbb{N}$-分次环，$M$ 是一个有限生成的分次 $R$-模。v-数 $v(M)$ 可以定义为使得 $(0:_Rx)$ 是 $R$ 的素理想的 $M$ 中齐次元素 $x$ 的最小可能次数。对于 $R$ 的一个齐次理想 $I$，我们主要证明了 $v(I^nM)$ 和 $v(I^nM/I^{n+1}M)$ 最终是 $n$ 的线性函数。此外，如果 $(0:_M I)=0$，那么 $v(M/I^{n}M)$ 最终也是线性的，且其首项系数与 $v(I^nM/I^{n+1}M)$ 的相同。这些首项系数被明确地描述。关于 $v(M/I^{n}M)$ 线性性的结果显著加强了 Conca 最近在 $R$ 是整环且 $M=R$ 时得到的结果，以及 Ficarra-Sgroi 处理多项式情况的结果。