某些高斯过程增量函数的渐近展开

设$G=\{G(x),x\ge 0\}$为具有平稳增量且均值为零的高斯过程，并记$\sigma^2(|x-y|)= E(G(x)-G(y))^2$。设$f$为满足$Ef^{2}(\eta)<\ff$的函数，其中$\eta=N(0,1)$。当$\sigma^2$在零处正则变化，且$$\lim_{h\to 0}{h^2\over \sigma^2(h)}= 0\qquad {and}\qquad \lim_{h\to 0}{\sigma^2(h)\over h}= 0 \quad {but} \quad ({d^{2}\over ds^2}\sigma^2(s))^{j_0}$$对某个整数$j_0\ge 1$局部可积，并满足一些额外的正则性条件时，在$L^2$意义下有\bea && \int_a^bf(\frac{G(x+h)-G(x)}{\sigma (h)}) dx \label{abst}\nn &&\qquad = \sum_{j=0}^{j_0} (h/\sigma(h))^{j} {E(H_{j}(\eta) f(\eta))\over\sqrt {j!}} :(G')^{j}:(I_{[a,b]}) +o({h\over\sigma (h)})^{j_0}\nn \eea。这里$H_j$是第$j$阶Hermite多项式。此外，$:(G')^{j}:(I_{[a,b]})$是由高斯场$G'(g)$构造的$j$阶Wick幂高斯混沌，其协方差为$$E(G'(g)G'(\wt g)) = \int \int \rho (x-y)g(x)\wt g(y) dx dy\label{3.7bqs},$$其中$\rho(s)={1/2}{d^{2}\over ds^2}\sigma^2(s)$。