3维和4维中的渐近维数与几何分解

我们证明，在Thurston意义下具有几何分解的光滑$4$维流形的基本群的渐近维数至多为4，且当流形是非球面时等于4。我们还证明闭$3$维流形群的渐近维数至多为3。我们的证明方法表明，闭$3$维Alexandrov空间的渐近维数至多为3。由此我们得到，对于具有这种几何分解的闭$4$维流形和闭$3$维Alexandrov空间，Novikov猜想成立。这些结果的一个推论是某些$0$手术几何$4$维流形的Yamabe不变量消失，以及具有几何分解的非球面光滑$4$维流形的谱中存在零点。