负曲率中的同调与同伦复杂性

对于所有维数 $d\ne 3$ 的负曲率有限体积流形，给出了其挠同调大小的一个线性上界。这扩展了Gromov的一个经典定理。在维数 $3$ 中，与贝蒂数相反，挠同调的大小就体积而言是无界的。此外，存在一列 $3$ 维双曲流形在Benjamini--Schramm拓扑下收敛到 $\mathbb{H}^3$，而其第一同调中的归一化挠在 $[0,\infty]$ 中稠密。在维数 $d\geq 4$ 时，给出了有限体积负曲率流形个数（在同伦意义下）的一个稍精确的估计，在维数 $d\ge 5$ 时（在同胚意义下）亦如此。这些结果基于一个有效的单纯厚-薄分解，该分解具有独立的意义。