退化圆柱面上近似调和映射的渐近分析及其对最小曲面的应用

我们研究从退化的圆柱面 $(T^2,g_n)$ 或退化的圆柱面 $(S^1\times [0,\pi],g_n)$（具有自由边界条件 $u_n(S^1\times \{0,\pi\})\subset K$）到紧黗尔曼流形 $(N,h)$ 的映射序列 $\{u_n\}_{n=1}^\infty$ 的 blow-up 分析和定量行为。假设满足 $$E(u_n)+\|\tau(u_n,g_n)\|_{L^2}\leq \Lambda<\infty,$$ 其中 $\tau(u_n,g_n)$ 为 $u_n$ 的张力场，$K\subset N$ 为光滑子流形。我们建立了广义能量身份公式，证明在气泡之外，颈部的渐近极限要么是 $N$ 上的某条测地线，要么是 $K$ 上的某条测地线样曲线，其中给出了一些长度公式。这部分部分确认了 Ding-Li-Liu 所提出的猜想。此外，我们研究了一个演化系统以寻找紧致黗尔曼流形中具有自由边界和任意余维的最小圆柱面。通过研究流在无穷处的收敛性，我们获得了一些关于具有自由边界的最小圆柱面的存在结果。与闭合情况不同，一个有趣的新现象是：颈部可能收敛到 $K$ 上的测地线样曲线。