有限域上的阿廷群与岩堀-赫克代数

在本博士论文中，我们将确定与所有有限不可约考克斯特群相关联的阿廷群在其相应的有限岩堀-赫克代数中的像。类型 $A$ 的情形已由 Brunat、Magaard 和 Marin 完成。其像的 Zariski 闭包在一般情形已由 Marin 确定。强逼近猜想表明，在有限情形中结果应类似。然而，所需使用的条件过于强，且只能给出部分结果。我们在本论文中表明它们确实如此，但不同的域分解带来了新现象。有限情形所用的技术与一般情形非常不同。主要论证来自有限群论。在高维情形，我们将使用 Guralnick-Saxl 的一个定理，该定理利用有限单群分类给出线性群的子群在自然表示中为典型群的条件。在低维情形，对于复杂情形我们主要使用 Bray、Holt 和 Roney-Dougal 确定的典型群极大子群分类。我们在类型 $H_4$、$E_6$ 和 $E_8$ 中发现了一些新的 $W$-图，它们提供了与通常图不同的信息。它们都以自然方式与一个双线性型相关联，而在先前的模型中该双线性型极难得到。在此模型中，双线性型仅利用二色性获得，其在恰当选取的基下的矩阵为反对角。唯一性性质或许可推广到更一般的情形，而弄清是何种情形或许值得考虑。