Herglotz-Zagier-Novikov函数的算术性质

在本文中，我们研究函数$\mathscr{F}(x;u,v)$，我们称之为Herglotz-Zagier-Novikov函数。该函数出现在Novikov关于Kronecker极限公式的工作中，其动机源于Zagier的论文，其中Zagier用Herglotz函数$F(x)$给出了Kronecker极限公式。我们给出了$\mathscr{F}(x;u,v)$满足的二、三和六项函数方程。这些是方程来自对合以及SL$_2(\mathbb{Z})$在$\mathbb{C}\times {\mathbb{D}_1}^2$（单位圆${\mathbb{D}_1}$）上作用的上同调关系。我们还给出了$\mathscr{F}(x;u,v)$在$x$的有理点处的特殊值。重要的是，$\mathscr{F}(x;u,v)$作为另外三个有趣函数即$F(x)$、$J(x)$和$T(x)$的统一推广，它们也出现在各种Kronecker极限公式中，并曾被Cohen、Herglotz、Muzaffar和Williams以及Radchenko和Zagier研究过。因此，我们的研究不仅揭示了$\mathscr{F}(x;u,v)$众多优美性质，也帮助我们进一步发展与其特例（如$J(x)$和$T(x)$）相关函数的理论。