Harglotz-Zagier-Novikov 函数的类比

最近，Choie 和 Kumar 对 Herglotz-Zagier-Novikov 函数 $\mathfrak{F}(z;u,v)$ 进行了广泛研究，定义为\n\begin{align*} \mathfrak{F}(z;u,v) = \int_{0}^{1} \frac{\log(1-ut^z)}{v^{-1}-t} dt, \quad \textrm{for} \quad \mathfrak{Re}(z)>0. \end{align*} 他们获得了两项、三项和六项函数方程，并以对数函数形式评估了特殊值。受其工作启发，本文研究以下两个积分:\n\begin{align*} \mathfrak{F}(z;u,v,w) &=\int_{0}^1 \frac{\log(1-ut^z)\log(1-wt^z)}{v^{-1}-t}\text{d}t, \ \mathfrak{F}_k(z;u,v) &= \int_{0}^{1} \frac{\log^k(1-ut^z)}{v^{-1}-t} \, \text{d}t, \end{align*} 其中 $\mathfrak{Re}(z)>0$ 且 $k \in \mathbb{N}$。当 $k=1$ 时，积分 $\mathfrak{F}_k(z;u,v)$ 可还原为 $\mathfrak{F}(z;u,v)$。这使我们能够通过研究 $\mathfrak{F}_k(z;u,v)$ 的性质来恢复 $\mathfrak{F}(z;u,v)$ 的特征。我们以多对数函数形式评估这些两个函数的特殊值。