Herglotz函数的算术性质

本文研究两个函数 $F(x)$ 和 $J(x)$，它们最初由 Herglotz 于 1923 年发现，后来被其中一位作者重新发现并用于实二次域的 Kronecker 极限公式。我们讨论了这些函数的许多有趣性质，包括有理或二次无理自变量处的特殊值作为二重对数与对数乘积的有理线性组合、源自 Hecke 算子的函数方程，以及与 Stark 猜想的联系。我们还讨论了其与模群 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的 1-闭上链的联系。