通过少量量子态逼近局域哈密顿量的算子范数

考虑作用在复希尔伯特空间 $\mathbb{C}^{2^n}$ 上的一个厄米算子 $A$。我们证明，当 $A$ 在泡利展开中次数较低，即 $A$ 是一个局域 $n$ 量子比特哈密顿量时，其算子范数可以通过在少量乘积态 $\ket{\psi}\in (\mathbf{C}^{2})^{\otimes n}$ 的集合 $\mathbf{X}_n$ 上最大化 $|\braket{\psi|A|\psi}|$ 来逼近，且该逼近与 $n$ 无关。更精确地说，我们证明当 $A$ 是 $d$-局域的，即 $\deg(A)\le d$ 时，有如下离散化型不等式：$\|A\|\le C(d)\max_{\psi\in \mathbf{X}_n}|\braket{\psi|A|\psi}|$。常数 $C(d)$ 仅依赖于 $d$。该 $\psi$ 的集合 $\mathbf{X}_n$ 被称为量子范数设计（quantum norm design），与 $A$ 无关，由乘积态构成，其基数可以小至 $(1+\eps)^n$，这在本质上是最优的。此前的范数设计仅对齐次 $d$-局域哈密顿量 $A$ \cite{L,BGKT} 以及非齐次 $2$-局域无迹 $A$ \cite{BGKT} 已知。我们还给出了若干其他结果，例如所有层级的 Rademacher 投影的有界性以及随机哈密顿量算子范数的估计。