Dorodnitzyn 气体边界层极限公式的近似解

Oleinik 的\emph{无回流}条件保证了矩形域 $R\subset \mathbb{R}^2$ 中 Prandtl 方程解的存在唯一性。它也使我们能够在平面 $\mathbb{R}^2$ 中有界凸域上，找到具有常总能量的 Dorodnitzyn 定常可压缩边界层的极限公式。在相同假设下，若 $|u|<\!\!<\!\!<1$，我们可给出该极限公式的一个近似解 $u$：$$u(z)\cong \delta * c * \left[z+\frac{6}{25}\cdot \frac{1}{2i_0} \cdot \frac{4U^2}{3}z^4\right]+o(z^5),$$ 其对应于当小参数 $\epsilon$（由域的最大高度与其长度之比给出）趋于零时的近似水平速度分量。此处 $c>0$，$\delta$ 为 Dorodnitzyn 坐标下的边界层高度，$U$ 为域上边界的\emph{自由流}速度，$T_0$ 为绝对表面温度。