半直线上多相Stefan问题的自相似解

我们研究了半直线$x>0$上具有常数初始数据和Dirichlet或Neumann边界条件的热方程的多相Stefan问题的自相似解。在Dirichlet边界条件的情况下，我们证明了用于确定自由边界的非线性代数系统是梯度系统，并且相应的势函数是显式写出的严格凸且强制的函数。因此，存在势函数的唯一极小点，该点的坐标确定了自由边界并提供了所需的解。这一结果也推广到了无穷多相变的情况。在Neumann边界条件的情况下，我们证明了该问题可能具有不同相变数量（称为类型）的解。对于每个固定类型$n$，用于确定自由边界的系统同样是梯度系统，并且相应的势函数被证明是严格凸且强制的，但在某个更宽的非物理域中。基于这些性质，证明了Stefan-Neumann问题存在唯一解，并且我们提供了精确的条件来指定解的类型。参考文献：5篇。