Apollonian 圆填充：几何与群论 I. Apollonian 群

Apollonian 圆填充通过反复用更多的切圆填充四个两两相切圆之间的空隙而得到。我们观察到存在具有强整性性质的 Apollonian 填充，其中填充中所有圆都具有整数曲率与有理圆心，使得（曲率）×（圆心）是一个整数向量。本系列论文解释此类性质。一个 Descartes 构型 是四个具有互不相交内部的两两相切圆的集合。我们用坐标系 $\sM_\DD$ 描述所有 Descartes 构型的空间，该坐标系由满足 $\bW^T \bQ_{D} \bW = \bQ_{W}$ 的 $4 \times 4$ 实矩阵 $\bW$ 组成，其中 $\bQ_D$ 是 Descartes 二次型 $Q_D= x_1^2 + x_2^2+ x_3^2 + x_4^2 -{1/2}(x_1 +x_2 +x_3 + x_4)^2$ 的矩阵，$\bQ_W$ 是二次型 $Q_W = -8x_1x_2 + 2x_3^2 + 2x_4^2$ 的矩阵。在参数空间 $\sM_\DD$ 上有自然的群作用。我们观察到每个 Apollonian 填充中的 Descartes 构型在某个有限生成离散群——即 Apollonian 群——下构成一个轨道。该群由 $4 \times 4$ 整数矩阵组成，其整性性质导致了在某些 Apollonian 圆填充中观察到的整性性质。我们引入另外两个相关的有限生成群，即对偶 Apollonian 群与超级 Apollonian 群，它们具有很好的几何解释。我们证明这些群是双曲 Coxeter 群。