比安基群的阿波罗尼奥斯结构

我们研究在 $\widehat{\mathbb{C}}$ 上由比安基群 $\operatorname{PSL}_2(\mathcal{O}_K)$ 的 M\"obius 作用所诱导的 $\widehat{\mathbb{R}}$ 的轨道，其中 $\mathcal{O}_K$ 是虚二次域 $K$ 的整数环。该轨道 $\mathcal{S}_K$ 被称为 Schmidt 排列，是 $K$ 的算术的一种几何实现，表现为复杂的圆填充。我们给出了 $\mathcal{S}_K$ 中推广阿波罗尼奥斯圆填充的某些子集的简单几何刻画，并证明带有方向考虑的 $\mathcal{S}_K$ 是所有原始的整 $K$-阿波罗尼奥斯填充的不交并。这些填充由一类新的具有算术意义的薄群（称为 $K$-阿波罗尼奥斯群）描述。我们针对这些填充的曲率提出了一个猜想，推广了阿波罗尼奥斯圆填充的局部到整体猜想。