非交换谐振子与自守积分的 Apéry 型数

本文旨在从 Fuchs 型微分方程视角研究非交换谐振子(NcHO)谱 zeta 函数特殊值的数论性质，尤其关注其与模形式及椭圆曲线的关联，并深化对 NcHO 谱的理解。我们首先研究 NcHO 谱 zeta 函数 ζ_Q(s) 在 s=n (n=2,3,…) 处特殊值的一般表达式，进而研究通过 ζ_Q(n) 特殊值分析定义的 Apéry 型数的生成函数与元生成函数。实际上，我们证明了对 n=2，出现于 ζ_Q(2n) 中作为“第一反常”的此类 Apéry 型数的生成函数 w_{2n} 给出了 Knopp 意义下具有有理周期函数的自守积分的例子，但对 n>2 仍待显式阐明更好的解释。这是对早前我们证明 w_2 可解释为权为 1 的 Γ(2)-模形式结果的推广。此外，还证明了“归一化”Apéry 型数关于素数的一些同余关系。为以类似 w_2 的方式描述 w_{2n}，我们利用 Berndt 的经典广义 Eisenstein 级数的解析延拓引入了微分 Eisenstein 级数。该微分 Eisenstein 级数实为负权自守积分的典型例子。于是我们得到了 w_4 用微分 Eisenstein 级数的显式表达。我们也简要讨论了作用于此类自守积分并关联 Eichler 上同调群的 Hecke 算子。