概率论中出现的 Wright 函数特殊情形的渐近与结构性质

本分析论文给出了 Wright 函数某些特殊情形的先前未知的性质，这些特殊情形的考虑是由我们关于概率论与随机过程理论的工作所要求的。具体地，我们建立了特定 Wright 函数 $${}_1\Psi_1(\rho,k; \rho,0;x)= \sum_{n=0}^\infty\frac{\Gamma(k+\rho n)}{\Gamma(\rho n)}\,\frac{x^n}{n!}\qquad (|x|<\infty)$$ 当参数 $\rho\in (-1,0)\cup (0,\infty)$ 且自变量 $x$ 为实数时的新的渐近性质。在聚焦于 Poisson-Tweedie 混合研究的概率论应用中，参数 $k$ 是非负整数。对于 $\rho$ 的某些特定值，给出了涉及著名特殊函数的若干表示。在参数 $\rho$ 既为正也为负的情形下，基于自变量 $k$ 与 $x$ 行为的众多假设获得了 ${}_1\Psi_1(\rho,k;\rho,0;x)$ 的渐近性。我们还提供了涉及“约化” Wright 函数 ${}_0\Psi_1(-\!\!\!-; \rho,0;x)$（其中 $\rho\in (-1,0)\cup (0,\infty)$）的若干积分表示与结构性质，这可能有助于推导幂方差分布族成员的新性质。其中某些性质蕴含了一个反射原理，该原理连接函数 ${}_0\Psi_1(-\!\!\!-; \pm\rho, 0;\cdot)$ 与某些 Bessel 函数。也给出了该函数两个特殊情形的若干渐近关系。其中少数在一些来自概率论结果的附加约束下成立，这些结果尽管先前可得，但分析学家们并不知道。