反交换反结合代数. Acaa代数

设$(A,\mu)$是特征为零的域上的一个非结合代数。极化过程允许我们关联两个其他代数，这种对应关系是单射的，一个交换，另一个反交换。假设$\mu$满足二次恒等式$\sum_{\sigma \in \Sigma_3} a_{\sigma}\mu(\mu(x_{\sigma(i)},x_{\sigma(j)}),x_{\sigma(k)}-a_{\sigma}\mu(x_{\sigma(i)},\mu(x_{\sigma(j)},x_{\sigma(k)})=0.$ 在特定条件下，此类乘法的极化决定一个反交换乘法，同时也满足二次恒等式。此时只有两种可能的恒等式存在，第一种是Jacobi恒等式，这使得该反交换乘法成为Lie代数，且乘法$\mu$是Lie可容的；第二种，较少见的恒等式为$[[x,y],z]=[[y,z],x]=[[z,x],y].$ 这种乘法在此称为Acaa，即Anticommutative和Antiassociative。我们建立了此类代数的一些性质。