Anosov 表示作为全局双曲空间紧致共形平坦时空的holonomy

Anosov 表示由 F. Labourie [18] 针对闭负曲率曲面的基本群引入，并由 O. Guichard 和 A. Wienhard [19] 推广到任意 Gromov 双曲群到实半单李群的表示。在本文中，我们关注到 O(2, n) 的恒等分支 O0(2, n) 的 Anosov 表示，其中 n $\ge$ 2。我们的主要结果是，如 [8] 中所定义的任何具有负极限集的 Anosov 表示都是一个空间紧致、全局双曲极大（简称 CGHM）共形平坦时空的 holonomy 群。空间紧致性的证明需要特别细致。关键思想是注意到对于任意时空 M，M 的零测地线空间同胚于 M 的一个柯西超曲面的单位切丛。为此，我们引入因果测线空间，包含反德西特空间的类时和零测地线以及其共形边界的零测地线：Einstein 时空。空间紧致性源于如下定理：任何 Anosov 表示通过等距作用在避开极限集的因果测线集合上真不连续；此外，该作用是余紧的。O. Guichard、F. Kassel 和 A. Wienhard 在 [11] 中于一般背景下陈述了此定理。我们可以将这最后一个结果视为凸余紧 Kleinian 群在 H n 中极限集补集上作用的洛伦兹类比。最后，我们证明我们主要结果中的共形平坦时空是两个强因果 AdS-时空共形拷贝的并，其带有边界，当极限集不是拓扑 (n -- 1)-球面时，包含一个具有 [2]、[3]、[4] 中所定义黑洞性质的全局双曲区域。