三维流形上的Anosov流:手术与叶状结构

对于三维流形上的任一Anosov流X,Fe1关联了一个双叶平面(赋予两个横截叶状结构Fs和Fu的平面),它反映了该流具有中心稳定与中心不稳定叶状结构的法向结构。若Fs(或Fu)平凡,则称该流为R-covered。从一个Anosov流出发,可通过Dehn-Goodman-Fried手术构造出无穷多个其他流。本文研究这些手术如何修改双叶平面。我们首先注意到,沿某些特定周期轨道的手术不改变双叶平面:例如,——对对应于不相交简单闭测地线的轨道族进行手术,不影响双曲曲面的测地流所关联的双叶平面(定理1);——Fe2将一(非空)有限周期轨道族(称为枢轴)关联到任一非R-covered的Anosov流。对枢轴的手术不影响双叶平面的分支结构(定理2)。我们考虑由环面T2上Anosov自同构A∈SL(2,Z)的悬垂流经Dehn-Goodman-Fried手术得到的Anosov流集合Surg(A)。每个这样的手术关联于有限个偶对(C,m(C))的集合,其中C为周期轨道,m(C)为整数。当所有m(C)同号时,Fenley证明所诱导的Anosov流是R-covered的,并依手术符号而扭曲。此处我们分析在有限集X上为正、在另一集Y上为负的情况。在其他结果中,我们证明对Surg(A)中任一流X:——存在e>0,使得对每个e-稠密周期轨道C,由X沿C作非平凡手术得到的任一流均为R-covered(定理4)。——存在周期轨道C+,C-,使得由X在C+与C-上作异号手术得到的任一流均非R-covered(定理5)。