有界域上的各向异性多尺度系统

我们给出了有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 上一种称为边界剪切波(shearlet)系统的多尺度系统的构造，该系统满足若干有利于成像科学及偏微分方程数值分析的性质。更确切地说，我们构造了边界剪切波(shearlet)系统，其构成 Sobolev 空间 $H^s(\Omega),s\in \mathbb{N} \cup \{0\},$ 的框架，且具有可控的框架界，并对除曲线状不连续外均光滑的函数给出最优稀疏逼近。我们表明所构造的系统允许纳入边界条件。此外，对 $s \geq 0$ 及 $f\in H^s(\Omega)$，我们证明了 $f$ 的 $L^2-$分析系数的加权 $\ell^2$ 范数等价于其 $H^s(\Omega)$ 范数。这特别地表明，重新加权的系统也是 $H^{-s}(\Omega)$ 的框架。而且，我们通过数值证明，相关的 $L^2-$合成算子作为到 $H^s(\Omega)$ 的映射也是稳定的，结合前述结果，这强烈指示这些系统构成了 $(H^s(\Omega), L^2(\Omega), H^{-s}(\Omega))$ 的所谓 Gelfand 框架。