关于带权 Sobolev 和 Pólya-Szegő 型不等式及其应用

我们的动机来自于研究一类半线性退化椭圆方程的边值问题 \begin{align}\tag{P}\label{P} \begin{cases} - \Delta_x u - |x|^{2\alpha} \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y,u) & \textrm{in } \Omega, u = 0 & \textrm{on } \partial \Omega, \end{cases} \end{align} 其中 $x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2$，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的有界光滑区域，$(0,0,0) \in \Omega$，且 $\alpha > 0$。在本文中，我们将通过建立加权 Sobolev 空间的嵌入定理来研究这一问题。为此，我们需要一个新的 Pólya-Szegő 型不等式，该不等式可以通过研究相应加权面积的等周问题来获得。我们的结果随后将 \cite{nga, Luyen2} 中的现有结论推广到了三维情形。