混沌结构的解析描述

我们考虑了解析公式，用以描述 Hénon 映射主周期轨道 $(x=y=0)$ 周围的混沌区域。继我们之前的论文 (Efthymiopoulos, Contopoulos, Katsanikas $2014$) 之后，我们引入了新变量 $(\xi, \eta)$，其中乘积 $\xi\eta=c$（常数）给出双曲不变曲线。这些双曲线通过正则变换 $\Phi$ 映射到 $(x,y)$ 平面，得到“Moser 不变曲线”。我们发现级数 $\Phi$ 在 $c$ 达到最大值 $c=c_{max}$ 之前是收敛的。我们给出了由于级数有限截断而产生的误差估计，并讨论了这些误差如何影响解析计算的适用性。当 Hénon 映射的基本参数 $\kappa$ 小于某个临界值时，在稳定周期轨道 $S$ 周围存在一个包含 KAM 不变曲线的稳定岛。$c \leq 0.32$ 的 Moser 曲线完全在 $S$ 周围最后一条 KAM 曲线之外，$0.32<c<0.41$ 的曲线与最后一条 KAM 曲线相交，而 $0.41\leq c< c_{max} \simeq 0.49$ 的曲线则完全在最后一条 KAM 曲线之内。周期轨道 $(x=y=0)$ 周围混沌区域中的所有轨道，尽管看似随机，均属于 Moser 不变曲线，因此定义了一种“混沌结构”。从最后一条 KAM 曲线附近且外部出发的轨道，在一段粘附时间内保持靠近该曲线，该时间可利用级数 $\Phi$ 解析估计。最后，我们利用基于不变 Moser 曲线自相交的方法，计算了在同宿点（即从 $x=y=0$ 出发的渐近曲线的交点）附近聚集的周期轨道。我们发现，所有计算出的周期轨道都是在 Hénon 参数 $\kappa$ 取较小值时由稳定轨道 $S$ 生成的，即它们都是正则周期轨道。