变步长/非自治人工压缩方法的分析

不可压缩流的标准人工压缩（AC）方法为 $$\frac{u_{n+1}^{\varepsilon }-u_{n}^{\varepsilon }}{k}+u_{n+1}^{\varepsilon }\cdot \nabla u_{n+1}^{\varepsilon }+{\frac{1}{2}}u_{n+1}^{\varepsilon }\nabla \cdot u_{n+1}^{\varepsilon }+\nabla p_{n+1}^{\varepsilon }-\nu \Delta u_{n+1}^{\varepsilon }=f\text{ ,} \\ \varepsilon \frac{p_{n+1}^{\varepsilon }-p_{n}^{\varepsilon }}{k} +\nabla \cdot u_{n+1}^{\varepsilon }=0$$ 通常取 $\varepsilon =k$（时间步长）。该方法快速、高效且稳定，精度为 $O(\varepsilon +k)$。对于自适应（因而是变化的）时间步长 $k_{n}$（以及因而 $\varepsilon =\varepsilon _{n}$），其长时间稳定性未知。对于变化的 $k,\varepsilon$，本报告展示了如何调整标准 AC 方法以恢复可证稳定的方法。对于相应的连续 AC 模型，我们证明了当 $\varepsilon =\varepsilon (t)\rightarrow 0$ 时，$\varepsilon =\varepsilon (t)$ 的人工压缩模型收敛到不可压缩 Navier-Stokes 方程的弱解。该分析基于非自治声学方程的空间-时间 Strichartz 估计。文中给出了新 AC 方法在 $2d$ 与 $3d$ 下的变 $\varepsilon ,k$ 数值测试。