基于截断误差的非定常流动高阶间断 Galerkin 方法各向异性 $p$ 自适应

本文中，我们将 $\tau$ 估计方法推广至非定常问题，并用其自适应调整高阶间断 Galerkin 非定常流动模拟中的多项式次数。该自适应是局部且各向异性的，能够在增强时间演化泛函（如升力、阻力）精度的同时捕捉相关的非定常流动特征。为达成高效且基于非定常截断误差的 $p$ 自适应方案，我们首先重审截断误差的定义，研究由时间项产生的质量矩阵处理方式的影响。其次，我们将 $\tau$ 估计策略推广至非定常问题。最后，我们提出并比较了两种非定常问题的自适应策略：动态与静态 $p$ 自适应方法。前者（动态）在模拟期间周期性度量误差，并在每次估计后立即调整多项式次数。后者（静态）同样周期性度量误差，但仅在若干估计阶段后执行一次 $p$ 自适应过程，使用周期性误差度量的组合。静态 $p$ 自适应策略适用于时间周期流动，而动态策略可推广至任意流动演化。我们考虑两个测试用例来评估所提 $p$ 自适应策略的效率。第一个采用可压缩 Euler 方程模拟密度脉冲的平流。第二个求解可压缩 Navier-Stokes 方程模拟 Re=100 时圆柱绕流。相对于一致加密，局部各向异性自适应显著减少了自由度数量，对 Euler 测试用例实现高达 $\times4.5$ 的加速，对 Navier-Stokes 测试用例实现 $\times2.2$ 的加速。