积分 Menger 曲率的一阶变分分析与数值梯度流

在本论文中，我们研究了纽结能量“积分 Menger 曲率”，即给定纽结上三个不同点的经典外接圆半径倒数的三重积分，其幂次为 $p\in [2,\infty)$。我们证明了当 $p>3$ 时，一阶变分存在于某个分数阶 Sobolev 空间的子集中；否则，存在于某个 H"older 空间的子集中。我们还讨论了如何将分数阶 Sobolev 空间和 H"older 空间推广至 $2\pi$-周期闭曲线。由于该能量在缩放变换下不变性不成立，我们额外考虑了能量的重缩放版本，即将能量取 $1/p$ 次幂并乘以曲线长度的某次幂。我们证明了圆至少是重缩放能量的驻点。此外，我们表明一般而言，具有 $E(r\gamma)=r^\alpha E(\gamma)$ ($\alpha\in\mathbb{R}$) 缩放行为的泛函除非 $\alpha=0$，否则不可能存在驻点。因此，当 $p\neq 3$ 时，“积分 Menger 曲率”可用作拉格朗日乘子法的辅助条件。我们考虑了重缩放能量的数值梯度流。为此，我们使用三角多项式来近似纽结，并使用梯形法则进行数值积分，这种方法在此情况下非常高效。此外，我们推导了一阶变分的合适表示形式。我们提出了一种算法，用于自适应选择时间步长以及重新分布傅里叶系数。在讨论完全离散化之后，我们展示了大量的示例流。