奇异矩阵微分算子的本质谱分析

给出了在 $\beta\in\mathbb R\cup\{\infty\}$ 处奇异的形如 \begin{align} \begin{pmatrix} -\displaystyle{\frac{\rm d}{\rm d t}} p \displaystyle{\frac{\rm d}{\rm d t}} + q & -\displaystyle{\frac{\rm d}{\rm d t}} b^* \! + c^* \\[2mm] \hspace{6mm} b \displaystyle{\frac{\rm d}{\rm d t}} + c & \hspace{4mm} D \end{pmatrix} \quad \text{in } \ L^2((\alpha, \beta)) \oplus \bigl(L^2((\alpha, \beta))\bigr)^n \label{mo} \end{align} 的矩阵微分算子 $\mathcal A$ 的本质谱的完整分析；系数函数 $p$, $q$ 为标量实值且 $p>0$，$b$, $c$ 为向量值，且 $D$ 为 Hermitian 矩阵值。所谓“本质谱的奇异部分” $\sigma_{\rm ess}^{\rm \,s}(\mathcal A)$ 被系统地研究。我们的主要结果包括对 $\sigma_{\rm ess}^{\rm \,s}(\mathcal A)$ 的显式描述、其存在与缺失的判据；对其拓扑结构以及本质谱半径的分析。我们的关键工具是：$\mathcal A$ 的第一个 Schur 补的首项系数 $\pi(\cdot,\lambda)=p-b^*(D-\lambda)^{-1}b$（一个标量微分算符但在 $\lambda$ 中非线性）的渐近性；由 $\mathcal A$ 中系数构成的某些函数在 $t\!\nearrow\!\beta$ 时的极限在 $\lambda$ 中的 Nevanlinna 行为。我们通过若干应用证明了我们结果的有效性；特别地，我们证明了关于某些对称恒星平衡模型的本质谱的一个猜想。