利用投影映射分析$\mathbb{R}^{4}$中异宿网络附近的动力学
动力系统
2026-04-02 v1
摘要
异宿环和网络是动力系统中由不变集和连接异宿轨道组成的结构，并且在具有不变子空间的系统中可以是鲁棒的。分析异宿环和网络稳定性的常用方法是构建网络附近截面的回归映射。从这些回归映射可以定义转移矩阵，通过分析其特征值和特征向量来确定稳定性。在本文中，我们引入了对该方法论的扩展，即投影映射，我们通过将具有某种定性相同动力学的轨迹识别在一起来定义它。投影映射是一个离散的分段光滑映射，其维数比转移矩阵的秩少一维。我们使用这些映射来描述中具有四个平衡点的三个异宿网络附近的轨迹动力学。我们发现，在所有三种情况下，轨迹在网络周期之间切换的开始都可能由折叠分岔或边界碰撞分岔引起，此时映射的不动点不再存在于相应函数的定义域内。我们能够证明，与具有四个以上平衡点的例子相比，这三个网络附近的轨迹仅渐近于一个子周期，并且不能在子周期之间多次切换，从而解决了Brannath三十年前的一个论断。我们还能将一些结果推广到所有准简单网络，表明投影映射的边界碰撞分岔（对应于某些转移矩阵特征向量的一个条件）会导致周期失去稳定性。
引用
@article{arxiv.2410.21486,
title = {Analysis of dynamics near heteroclinic networks in $\mathbb{R}^{4}$ with a projected map},
author = {David C. Groothuizen Dijkema and Vivien Kirk and Claire M. Postlethwaite},
journal= {arXiv preprint arXiv:2410.21486},
year = {2026}
}