鲁棒异宿网络中的共振分岔

已知鲁棒异宿环会在共振分岔中改变稳定性，这种分岔发生在满足系统特征值的代数条件时，通常会导致长周期周期轨道的产生或消失。异宿网络的共振分岔更为复杂，因为网络中不同的子环可能在不同的参数值下经历共振，但迄今为止尚未得到系统研究。本文首次对异宿网络中的共振分岔进行了调查。具体而言，我们研究了 $\R^4$ 中的两个异宿网络，并考察了当每个网络中的各种子环改变稳定性时发生的动力学行为。这两种情况的区别在于网络中的一个平衡点是否具有实数或复数收缩特征值。我们构建了二维 Poincaré 回归映射，并利用它们研究网络附近轨迹的动力学。每个网络中至少有一个平衡解具有二维不稳定流形，我们使用 [18] 中开发的技术来追踪这些流形内的所有轨迹。在具有实特征值的情况下，我们表明渐近稳定的网络在网络中两个特定环之一经历共振并出现两个或六个周期轨道时首先失去稳定性。在复数情况下，我们表明在共振处产生了无限多个稳定和不稳定的周期轨道，这些轨道可能与混沌吸引子共存。还存在进一步的共振，其特征值组合是整个网络的属性，此后源自单个共振的周期轨道可能会相互作用。我们用数值例子说明了部分结果。