旋转圆柱中三维流体流动的数值分析

本文考察了毛细作用驱动的三维环形流问题的数值建模与分析。我们推导了一个四阶准线性退化抛物型偏微分方程，用于描述流体薄膜高度 $h > 0$ 随时间变化的行为，该薄膜覆盖在绕水平轴旋转的圆柱内壁。该方程源于对薄型流体薄膜的 Navier-Stokes 方程组经过尺度变换后，通过润动近似推导得出，考虑了旋转、表面张力和重力的物理效应。其中，重力效应通过无量纲参数 $0 \leq \delta \ll 1$ 来衡量。我们对稳态解的结构进行了特征化，具体取决于圆柱长度与其半径之比 $\ell$。在无重力情形 ($\delta=0$)，当 $\frac{\ell}{\pi} \notin \mathbb{Z}$ 时，稳态解是唯一的。对于 $0 < \delta \ll 1$，我们证明稳态解对任意 $\ell$ 均具有局部唯一性。这些稳态解在 $\ell < \pi$ 时是稳定的，而在 $\ell > \pi$ 时则是不稳定的。此外，在无重力情形下，对于所有 $\ell > 0$，我们证明存在一族时间周期解。对于临界情形 $\ell = \pi$，我们研究了在大时间尺度 $\tau = \delta^2 t$ 下，解临近周期轨道流形的动力学行为。结果显示，在尺度 $\tau$ 下，这种动力学可由一组常微分方程组来近似描述。