理想类幺半群大小的一个上界

对于数域的有限域扩张 $E/F$ 中的序 $R$，其理想类幺半群（记为 $\overline{\mathrm{Cl}}(R)$）是数论中一个基本的研究对象，在代数几何与拓扑学中有重要应用。本文中，我们利用 $E$ 的类数和 $\mathfrak{gl}_n$ 的（局部）轨道积分，描述了 $\#\overline{\mathrm{Cl}}(R)$ 的一个上界。我们还利用闵可夫斯基界描述了 $E$ 的类数的一个上界。当 $[E:F]\leq 3$ 或 $R$ 为 Bass 序时，我们利用作者先前工作中已知的局部轨道积分公式，改进了该上界。特别地，若 $R=\mathbb{Z}[x]/(x^3-mx^2+(m-1)x-1)$（其中 $m\in \mathbb{Z}$，该序出现在拓扑学中 Cappell-Shaneson 同伦 4-球面的研究中），则我们进一步用 $R$ 和 $E$ 的判别式精炼了该上界，当 $\Delta_E>3075$ 时，该上界为 $\frac{2}{3^5} \Delta_R^{\frac{1}{2}}\cdot \Delta_E^{\frac{3}{2}}$。