对称函数不等式的一个 SOS 反例
组合数学
2020-11-18 v3 代数几何
最优化与控制
摘要
已知对应于不同基的对称函数之差在非负象限上非负，当且仅当定义它们的划分在控制序下可比较。唯一的例外是齐次对称函数的情况，其中仅知划分的控制关系蕴含对应对称函数之差的非负性。Cuttler、Greene 和 Skandera 在 2011 年猜想其逆也成立，正如单项、初等、幂和与 Schur 基的情形。本文中我们给出一个反例，表明齐次对称函数打破了该模式。我们使用半定规划为多项式 找到显式的平方和分解，即 41 个平方之和。由于平方和多项式不可能为负，且划分 44 与 521 在控制序下不可比较，这一非负性的有理证书反驳了该猜想。
引用
@article{arxiv.1909.00081,
title = {An SOS counterexample to an inequality of symmetric functions},
author = {Alexander Heaton and Isabelle Shankar},
journal= {arXiv preprint arXiv:1909.00081},
year = {2020}
}
备注
Revisions made, to appear in Journal of Pure and Applied Algebra