Lin-Ni-Takagi 问题内部尖峰解数量的最优界

我们考虑以下奇异微扰 Neumann 问题 \begin{eqnarray*} \varepsilon^2 \Delta u - u + u^p = 0 \quad \text{in} \quad \Omega, \quad u > 0 \quad \text{in} \quad \Omega, \quad \frac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{on} \quad \partial \Omega, \end{eqnarray*} 其中 $p$ 是次临界的，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中具有单位外法向量 $\nu$ 的光滑有界区域。Lin-Ni-Wei \cite{LNW} 证明了存在 $\varepsilon_0$，使得对于 $0 < \varepsilon < \varepsilon_0$ 以及满足以下不等式的每个整数 $k$：\begin{equation} 1 \leq k \leq \frac{\delta(\Omega, n, p)}{(\varepsilon |\log \varepsilon|)^n} \end{equation} 其中 $\delta(\Omega, n, p)$ 是仅依赖于 $\Omega$、$p$ 和 $n$ 的常数，存在一个具有 $k$ 个内部尖峰的解。我们证明了对 $k$ 的界可以改进为 \begin{equation} 1 \leq k \leq \frac{\delta(\Omega, n, p)}{\varepsilon^n}, \end{equation} 并且该界是最优的。