一条 $\mathbb{F}_{p^2}$-极大的 Wiman 六次曲线及其自同构

1895 年 Wiman 引入了一条亏格 $6$ 的黎曼曲面 $\mathcal{W}$，定义于复域 $\mathbb{C}$ 上，其齐次方程为 $\mathcal{W}:X^6+Y^6+Z^6+(X^2+Y^2+Z^2)(X^4+Y^4+Z^4)-12X^2 Y^2 Z^2=0$，并证明其全自同构群同构于对称群 $S_5$。该曲线 $\mathcal{W}$ 此前作为定义于有限域 $\mathbb{F}_{p^2}$（$p$ 为素数）上的曲线被研究，并得到了其在 $\mathbb{F}_{p^2}$ 上极大性的充要条件。本文首先证明 Wiman 关于 $\mathcal{W}$ 自同构群的结果在特征 $p>0$ 的代数闭域 $\mathbb{K}$ 上也成立，只要 $p \geq 7$。对于 $p=2,3$，多项式 $X^6+Y^6+Z^6+(X^2+Y^2+Z^2)(X^4+Y^4+Z^4)-12X^2 Y^2 Z^2$ 在 $\mathbb{K}$ 上不可约，而对于 $p=5$，曲线 $\mathcal{W}$ 是有理曲线且 $Aut(\mathcal{W}) \cong PGL(2,\mathbb{K})$。我们还证明了 $\mathbb{F}_{19^2}$-极大的 Wiman 六次曲线 $\mathcal{W}$ 不被 Hermitian 曲线 $\mathcal{H}_{19}$ 在 $\mathbb{F}_{19^2}$ 上 Galois 覆盖。