极大曲线在 Hermitian 簇中的嵌入

设 X 为定义在阶为 $q^2$ 的有限域 F 上的射影几何不可约非奇异代数曲线。若 X 的 F-有理点个数满足 Hasse-Weil 上界，则称 X 为 F-极大。对一点 P_0\in X(F)，令 \pi 为由线性系 D:=|(q+1)P_0| 给出的态射，并令 N:=dim(D)。已知 N\ge 2，且当 X 为 F-极大时 \pi 与 P_0 无关。将证明如下定理：定理 0.1：若 X 为 F-极大，则 \pi:X\to \pi(X) 是一个 F-同构。非奇异模型 \pi(X) 次数为 q+1，且位于 P^N(\bar F) 上定义于 F 的一个 Hermitian 簇中；定理 0.2：若 X 为 F-极大，则它 F-同构于 P^M(\bar F) 中的一条曲线 Y，其中 2\le M\le N，使得 Y 次数为 q+1 且位于 P^M(\bar F) 上定义于 F 的一个非退化 Hermitian 簇中。此外，Aut_F(X) 同构于射影酉群 PGU(M+1,q^2) 的一个子群；定理 0.3：若 X F-双有理于嵌入在 P^M(\bar F) 中的曲线 Y，使得 Y 次数为 q+1 且位于 P^M(\bar F) 上定义于 F 的一个非退化 Hermitian 簇中，则 X 为 F-极大且 X F-同构于 Y。