一个与 4 阶对称化秩函数相关的有趣 $q$-级数

本文介绍了利用 Bailey 引理的 $s$-重扩展来获取与对称化秩函数 $\eta_{2k}(n)$ 相关的 $spt$ 型函数的方法。我们提供了 $k=2$ 的示例，但清晰地阐述了对于任意整数 $k>1$，高阶 $spt$ 函数之间存在的深刻联系，并提出了几个可能的研究方向。特别是，我们阐述了为何函数 $spt_M^{*}(n)$（即在分拆中不出现大于最小部分加 $M$ 的部分时，最小部分出现的总次数）是一个看似具有核心重要性的 $spt$ 函数。