具有有限 $p$-变差的路径的等周不等式的初等证明

在本文中，我们将证明如果连续闭曲线 $\gamma : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}^2$ 具有有限 $p$-变差且 $p < 2$，则对所有 $q \in [1, \frac{2}{p})$，有 $(\iint\limits_{\mathbb{R}^2}|\eta(\gamma, (x, y))|^q \,dx \,dy)^{1/q} \le (\frac{1}{2})^\frac{1}{q}(\zeta(\frac{2}{pq})-1)(||\gamma||_{p, [0, 1]})^{\frac{2}{q}}$，其中 $\eta(\gamma, (x, y))$ 是 $\gamma$ 在 $(x, y)$ 处的绕数，$\zeta$ 是黎曼 zeta 函数，$||\gamma||_{p, [0, 1]}$ 是 $\gamma$ 在区间 $[0, 1]$ 上的 $p$-变差。我们的主要贡献在于用已知常数显式给出了一个界，并且我们通过初等证明得到了它。我们将使用 L.C. Young 在 1936 年引入的方法。