关于平面曲线的一个性质

设 $\gamma: [0,1] \to [0,1]^2$ 是一条连续曲线，满足 $\gamma(0)=(0,0)$，$\gamma(1)=(1,1)$，且对所有 $t\in (0,1)$ 有 $\gamma(t) \in (0,1)^2$。我们证明，对每个 $n \in \mathbb{N}$，在 $\gamma$ 上存在点列 $A_i$，$0\leq i \leq n+1$，使得 $A_0=(0,0)$，$A_{n+1}=(1,1)$，并且序列 $\pi_1(\overrightarrow{A_iA_{i+1}})$ 和 $\pi_2(\overrightarrow{A_iA_{i+1}})$，$0\leq i \leq n$，均为正且顺序相同，其中 $\pi_1,\pi_2$ 是到坐标轴上的投影。