弦均值的不等式及其在等周问题中的应用

我们考虑物理学中出现的一对等周问题。第一个问题涉及 $L^2(\mathbb{R}^2)$ 中的薛定谔算符,其吸引性相互作用支撑于闭曲线 $\Gamma$ 上,形式由 $-\Delta-\alpha \delta(x-\Gamma)$ 给出;我们询问在给定长度下哪条曲线使基态能量最大。在第二个问题中,我们在 $\mathbb{R}^3$ 中有一根环状线 $\Gamma$,均匀带电但不导电,我们询问(重整化后的)势能极小化者。两个问题都归结为关于 $\Gamma$ 的弦均值的纯几何问题。我们证明了当 $p \leq 2$ 时曲线弦的 $p$ 均值的等周定理,其特别地蕴含物理问题的全局极值总在 $\Gamma$ 为圆时达到。文章最后讨论了当 $p > 2$ 时弦的 $p$ 均值。