关于弦的等周不等式中的临界指数

在静电学和量子力学问题中，出现了最大化连接闭合曲线上弧长间隔为 $u$ 的两点所连弦的 $L^p$ 范数这一问题。已知在所有固定长度的闭合曲线中，对于 $1 \le p \le 2$，唯一的极大形状是圆，但对于足够大的 $p$ 值则并非如此。本文确定了 $p$ 的临界值 $p_c(u)$，当 $p$ 高于该值时圆不再是局部极大化子，特别地发现 $p_c(\frac12 L)=\frac52$。这修正了 \cite{EHL} 中提出的断言。