泄漏环及相关平均弦不等式的等周问题

我们考虑 $L^2(\R^2)$ 中的一类哈密顿量，其吸引相互作用支撑在固定长度 $L$ 的分段 $C^2$ 光滑环 $\Gamma$ 上，形式由 $-\Delta-\alpha\delta(x-\Gamma)$ 给出，其中 $\alpha>0$。研究表明，该算符的基态在 $\Gamma$ 为圆形时取得局部极大值。我们还猜想该性质在全局成立，并表明此问题与关于 $\Gamma$ 的弦平均值的一组有趣的几何不等式族相关。