关于随机双纽线的几何

我们研究随机有理双纽线 $\Gamma$ 的几何，即随机有理函数 $r$ 的模在黎曼球面上的水平集 $\{|r(z)|=1\}$。我们通过从次数为 $n$ 的随机多项式的复 Kostlan 系丛中独立采样 $p$ 和 $q$，为次数 $n$ 的有理函数空间 $r=p/q$ 赋予概率分布。我们证明 $\Gamma$ 的平均球面长度为 $\frac{\pi^2}{2} \sqrt{n},$ 它与最大球面长度的平方根成正比。我们还给出了曲线上与黎曼球面上某条经线（即平面上某条径向方向）相切的点的平均数量的渐近式。关于 $\Gamma$ 的拓扑，在局部尺度上，我们证明对于黎曼球面上半径为 $O(n^{-1/2})$ 的每个圆盘 $D$ 以及任意有限个圆 $A\subset D$ 的排列（即嵌入），存在正概率（与 $n$ 无关）使得 $(D,\Gamma\cap D)$ 与 $( D,A)$ 同痕。（限制于双纽线的希尔伯特第十六问题的局部随机版本。）推论：$\Gamma$ 的连通分支的平均数量线性增加（根据确定性上界所可能的最大速率）。